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Introducción a la teoría de juegos
Juegos con
transferencia de utilidad
(Juegos
cooperativos)
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Introducción a la teoría de juegos
Juegos con
transferencia de utilidad |
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Si los jugadores pueden comunicarse entre sí y negociar un acuerdo ANTES de los pagos, la problemática que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una coalición de parte de los jugadores, de que esa coalición sea estable y de cómo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalición para que ninguno de ellos esté interesado en romper la coalición.
Juego 1.- Empecemos con el ejemplo más sencillo. Supongamos que tres jugadores, Ana, Benito y Carmen, tienen que repartirse entre sí cien euros. El sistema de reparto tiene que ser adoptado democráticamente, por mayoría simple, una persona un voto. Hay cuatro posibles coaliciones vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de repartir los pagos entre los tres jugadores.
Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33.
Benito puede proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50
Carmen estará más interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede proponer una alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y C=66.
A Benito es posible que se le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana.
El juego puede continuar indefinidamente. No tiene solución. No hay ninguna coalición estable. Sea cual sea la propuesta que se haga siempre habrá una propuesta alternativa que mejore los pagos recibidos por cada jugador de una nueva mayoría.
Definición: En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a una propuesta de coalición y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, en la que ninguno de los participantes de una coalición vencedora pueda estar interesado en romper el acuerdo.
Juego 2.- Modifiquemos ahora el ejemplo. En vez de "un hombre un voto" consideremos que hay voto ponderado. Ana tiene derecho a seis votos, Benito a tres y Carmen a uno. Las posibles mayorías son las siguientes: ABC, AB, AC, A.
En esta situación Ana propondrá un reparto de la siguiente forma: A=100, B=0 y C=0. Ese reparto se corresponde con una coalición estable en la que los seis votos de Ana estarán a favor. Es una solución única. Ana no aceptará ningún reparto en el que ella obtenga menos de 100 euros y sin la participación de Ana no hay ninguna coalición vencedora.
Definición: Se llama "valor del juego" al pago que un jugador tiene garantizado que puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una coalición si no recibe como pago al menos el valor del juego.
En el juego 1, el valor del juego es cero para los tres jugadores. En el juego 2 el valor del juego para Ana es cien y para Benito y Carmen es cero.
Juego 3.- Pongamos un ejemplo algo más realista y, por tanto, un poco más complejo. Supongamos un municipio en el que cinco partidos políticos se han presentado a las elecciones: el Partido Austero (PA), el Partido Benefactor (PB), el Partido Comunal (PC), el Partido Democrático (PD) y el Partido de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido el siguiente número de concejales:
PA=11
PB=8
PC=5
PD=2
PE=1
l juego 2, no hay ningún jugador imprescindible para ganar. Si utilizamos la definición que dimos arriba, el valor del juego para todos los jugadores es cero ya que ninguno tiene garantizada su pertenencia a la coalición vencedora.Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta, es necesario que se forme una coalición para gobernar el municipio. El presupuesto anual del municipio es de 520 millones de euros. La coalición gobernante debe asignar los cargos y las responsabilidades del ayuntamiento a los diferentes partidos. En las negociaciones se debe acordar el reparto del presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos. Suponemos que no hay simpatías ni antipatías ideológicas y que los cargos y responsabilidades son valorados exclusivamente según el presupuesto económico que controlan. Supondremos, para simplificar, que hay disciplina de voto y que no son posibles las traiciones internas
Análisis del juego 3. Como el número total de concejales es 27, la coalición vencedora debe disponer al menos de 14 votos. A diferencia de
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Definición: Se llama "valor de Shapley" a la asignación que recibe cada jugador en una propuesta de reparto según un criterio de arbitraje diseñado por Lloyd S. Shapley. El criterio consiste en asignar un pago a cada jugador en proporción al número de coaliciones potencialmente vencedoras en las que el jugador participa de forma no redundante. |
Un jugador es redundante en una coalición si no es imprescindible para que esa coalición resulte vencedora.
Propuesta arbitral de Shapley para el juego 3.
Como hay cinco partidos políticos, las posibles coaliciones son 31. De ellas, 16 son vencedoras. Las coaliciones perdedoras están en rojo. En las coaliciones vencedoras se han marcado en amarillo los jugadores redundantes.
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ABCDE | ||||
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ABCD ABCE ABDE ACDE BCDE |
ABC ABD ACD BCD |
ABE ACE BCE |
ADE BDE |
CDE |
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AB AC AD AE |
BC BD BE |
CD CE |
DE |
A B C D E |
Por tanto:
A no es redundante en 10 coaliciones vencedoras
B no es redundante en 6 coaliciones vencedoras
C no es redundante en 6 coaliciones vencedoras
D no es redundante en 2 coaliciones vencedoras
E no es redundante en 2 coaliciones vencedoras
Si se formara un "gobierno de concentración", una coalición de todos los partidos, podríamos repartir el presupuesto de 520 millones de euros en proporción al valor de Shapley obteniendo los siguientes valores para cada uno de los partidos:
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Número de representantes | |
| Austria | 17 |
| Alemania | 99 |
| Bélgica | 22 |
| Dinamarca | 13 |
| España | 50 |
| Finlandia | 13 |
| Francia | 72 |
| Grecia | 22 |
| Holanda | 25 |
| Irlanda | 12 |
| Italia | 72 |
| Luxemburgo | 6 |
| Portugal | 22 |
| Reino Unido | 72 |
| Suecia | 18 |
A= 200; B= 120; C= 120; D= 40; E= 40
En cualquier coalición formada por menos de cinco partidos, ninguno de los coaligados debería aceptar un presupuesto inferior al indicado. Sea cual sea la coalición vencedora que se forme, el presupuesto puede ser repartido conforme al criterio del valor de Shapley.
Obsérvese que la propuesta de arbitraje de Shapley no conduce a una solución única ni absolutamente estable. Sigue habiendo varias soluciones posibles. Pero en cualquier coalición que se forme, si el reparto se hace conforme al criterio de Shapley, no habrá una coalición alternativa más estable que ofrezca a los jugadores un pago superior.
 Hemiciclo del Parlamento Europeo en su sede de Estrasburgo |
Juego 4.
Ejercicio. En el Tratado de la Unión Europea aprobado en Niza en diciembre de 2000 se acordó que a partir del 1 de enero de 2004, el número de representantes de cada país miembro en el Parlamento Europeo será el fijado en el cuadro adjunto. Intente estimar la asignación de un presupuesto de un billón de euros entre todos los países miembros para que sea aprobado por unanimidad por el Parlamento, de forma que cada país miembro reciba el valor de Shapley.
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de noviembre de 2004
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